引力，从几何中诞生。

不先画一根向下的力箭头。让我们从尺子和钟出发，看“物体为什么下落”怎样一步步成为一个几何问题。

不写“引力”，还能解释下落吗？

换一个参考系，同一次自由落体可以变成一条竖直世界线。我们要找的，不是画面里的弯，而是不依赖观察方式的规律。

开场动画是无空气阻力、近地面的牛顿近似，用来提出问题；并未把这条抛物线冒充为完整相对论解。

这一章，带走一句话自由落体的加速度计读数为零；地面坐标中的加速度，却可以不为零。

把直觉写成公式00 / 10

自由落体的主角：协变加速度为零

\frac{D u^{μ}}{d τ} = 0

D 会把坐标基底的变化一起算进去。暂时不用会算它；第 04 章会把这个符号完全展开。

推导路径 1 / 3

01先区分两种加速度

坐标定义

a_{coord} = \frac{d^{2} h}{d t^{2}}

这个量描述高度坐标怎样变化。换参考系后，它可以改变。

02下落坐标系随物体运动

坐标变换

h^{'} = h + \frac{1}{2} g_{N} t^{2}

这个开场使用匀强、无阻力的牛顿近似。若 h=H−gₙt²/2，就有 h′=H。

03寻找与坐标选择无关的规律

自由运动的几何表述

u^{μ} = \frac{d x^{μ}}{d τ}, \frac{D u^{μ}}{d τ} = 0

理想自由落体没有非引力作用引起的固有加速度。后面的目标，是把 D 写成度规的导数。

完整模式 · 定义、条件与补充计算

本页的约定

x^{0} = c t, (μ, ν) = 0, 1, 2, 3, (-, +, +, +)

默认采用“时间负、空间正”的度规符号。重复的一上一下指标求和。玩具模型与无量纲演示另行标注单位。

本章依据 [4][2]

坐标只是地址，度规才是尺子。

在纸上走 3 格、再走 2 格，真正的距离一定是 √13 吗？先改变每一格代表的长度。

同样的坐标差，能代表不同的距离吗？

坐标没有变，只改变竖直方向的测量系数。点 A 到点 B 的距离会跟着变化；“尺子视图”把这个测量结果直接画出来。

本章的 b 是常数，几何仍然平直。改变刻度 ≠ 制造曲率。

这一章，带走一句话知道坐标还不够。知道度规，才知道怎样测量距离与夹角。

把直觉写成公式01 / 10

度规：把坐标差翻译成长度

d ℓ^{2} = g_{i j} d x^{i} d x^{j}

gᵢⱼ 是一组测量系数。它告诉你，各方向的坐标变化怎样共同贡献实际长度。

推导路径 1 / 4

01从勾股定理开始

欧氏测量规则

d ℓ^{2} = d x^{2} + d y^{2}

在普通直角坐标里，两把坐标尺的单位长度相同，系数都是 1。

02给竖直方向换一把尺子

本章的模型

d ℓ^{2} = d x^{2} + b^{2} d y^{2}

b 是每一格 y 坐标对应的实际长度。它的平方出现，是因为这里计算的是长度的平方。

03把系数收进一个矩阵

矩阵记法

(g_{i j}) = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & b^{2} \end{matrix})

对角项控制各方向的刻度；一般的非对角项还记录坐标方向之间的交叉贡献。

04把整条路径上的长度加起来

从微小量到积分

ℓ = \int \sqrt{g_{i j} \frac{d x^{i}}{d λ} \frac{d x^{j}}{d λ}} d λ

λ 只是沿路径前进的标签。对于图中的直线，Δx=3、Δy=2，因此 ℓ=√(9+4b²)。

完整模式 · 定义、条件与补充计算

指标展开

g_{i j} d x^{i} d x^{j} = g_{x x} d x^{2} + 2 g_{x y} d x d y + g_{y y} d y^{2}

这里使用对称度规 gxy=gyx，所以交叉项出现两次。

为什么本章还没有曲率

Y = b y ⟹ d ℓ^{2} = d x^{2} + d Y^{2}

b 在整个平面上是常数，换个坐标单位就得到欧氏平面。这一步只教“度规是什么”，不把不同刻度误认成引力。

本章依据 [1]

时空中的“长度”，是钟走过的时间。

用一条线同时记录“物体在哪里”和“现在是什么时候”。这条线，就是世界线。

沿不同世界线运动的钟，会积累相同的时间吗？

竖直的线表示位置不变；斜线表示匀速运动。调高速度，让两只钟在同一坐标时刻比较累计读数。

平直时空中的精确关系；图中纵轴是 t，横轴是 x/c，二者都以秒计。

这一章，带走一句话时空几何不只规定距离，也规定沿一条运动路径会积累多少时间。

把直觉写成公式02 / 10

固有时间：运动的钟自己的读数

d τ = d t \sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}

t 是选定惯性系的坐标时间；τ 是沿着物体的世界线，物体携带的钟实际积累的时间。

推导路径 1 / 4

01把时间与空间写在一起

闵可夫斯基度规

d s^{2} = - c^{2} d t^{2} + d x^{2}

先只保留一个空间方向。在这个符号约定下，物体的类时世界线满足 ds²<0。

02定义钟实际经历的时间

固有时间定义

c^{2} d τ^{2} = - d s^{2} = c^{2} d t^{2} - d x^{2}

把负的类时间隔换成正的钟读数。这里 ds 不能直接当作普通的实数空间长度。

03代入速度 dx/dt

代数整理

d τ = d t \sqrt{1 - v^{2} / c^{2}}

对匀速运动，根号内的量是常数，可以直接乘以整个坐标时间区间。

04推广到任意度规

推广定义

d τ = \frac{1}{c} \sqrt{- g_{μ ν} d x^{μ} d x^{ν}}

以后，换一个 gμν 就是在更换“尺子和钟共同遵守的规则”。

完整模式 · 定义、条件与补充计算

光为什么不同

d s^{2} = 0 ⟹ d τ = 0

光沿零测地线传播，不能拿光自己的固有时间给路径编号；需要另选仿射参数。

这里没有双生子悖论

Δ t = 10, Δ x = v Δ t

两只钟在同一惯性系的同一坐标时刻比较；终点空间位置不同，并不是一个往返重逢实验。

本章依据 [1][2]

先不要猜轨迹，比较每条路上的钟。

固定出发与到达的两个事件。让中间的路径稍微偏一点，看看固有时间怎样改变。

自由运动对应哪个“不再一阶改变”的路径？

拖动世界线中点，或者移动滑块。弯曲的试探路径需要来回运动，钟积累的时间比直线路径少。

平直时空的变分演示。c=1；试探路径的固有时间是数值积分，不是预设动画读数。

这一章，带走一句话“测地线”不是随便画出的弯线，而是满足一个可计算的驻值条件的路径。

把直觉写成公式03 / 10

驻值原理：一阶变化为零

δ \int d τ = 0

δ 表示微小改变整条路径，并保持两个端点不动。自然路径让固有时间的一阶变化消失。

推导路径 1 / 4

01固定同一对事件

边界条件

x (0) = x (T) = 0, T = 10

所有候选路径必须有相同的起点和终点，否则累计时间无法用来判定同一个变分问题。

02选一个可以动手改变的路径族

试探路径

x_{a} (t) = a \sin (\frac{π t}{T})

a 控制中途偏离的幅度。它只是候选路径的一个小样本，不代表已经遍历了全部可能路径。

03根据度规累计时间

代入固有时间

τ [a] = \int_{0}^{T} \sqrt{1 - {(\frac{a π}{T} \cos \frac{π t}{T})}^{2}} d t

本演示取 c=1；积分由辛普森法计算。滑块范围保证速度一直小于光速。

04在自然路径上，一阶变化消失

驻值检验

{\frac{d τ [a]}{d a} |}_{a = 0} = 0

在这个路径族中，a=0 就是惯性世界线。下一章用任意微小路径变化，推导一般的测地线方程。

完整模式 · 定义、条件与补充计算

为什么说驻值，而不笼统说最短

S = - m c^{2} \int d τ, δ S = 0

对足够近的两个类时分离事件，自由粒子的世界线局部最大化固有时间。一般情形应说驻值；不能把“空间最短”直接照搬成“时空最短”。

对任意路径变化的要求

x^{μ} \mapsto x^{μ} + ϵ η^{μ}, η^{μ} (λ_{1}) = η^{μ} (λ_{2}) = 0

一般推导要求对所有满足端点条件的 ημ 都成立，比检查一个正弦路径族更强。

本章依据 [1]

把度规放进去，加速度自己出现。

现在展开那个 δ。每一步只做一件事：求导、使用链式法则、整理，再乘上逆度规。

测量规则怎样真正进入运动方程？

图中的轨迹直接由测地线方程数值积分。调低几何参数，世界线会逐渐恢复为直线。没有额外添加一根“引力”。

1+1 维精确玩具度规，c=1；轨迹按固有时间做四阶龙格—库塔积分，不是贝塞尔曲线示意。

这一章，带走一句话加速度项不是额外塞进来的。它与度规导数一起，从同一个变分问题中出现。

把直觉写成公式04 / 10

测地线方程

{\ddot{x}}^{μ} + Γ_{α β}^{μ} {\dot{x}}^{α} {\dot{x}}^{β} = 0

点表示对仿射参数求导；对有质量的自由粒子可选固有时间 τ。Γ 是度规变化进入运动方程的位置。

推导路径 1 / 6

01使用等价的仿射参数拉格朗日量

参数选择

L = \frac{1}{2} g_{α β} (x) {\dot{x}}^{α} {\dot{x}}^{β}

对测地线并选择仿射参数时，这个二次型给出相同的路径方程。不能把它当成任意参数下都等价的固有时间被积函数。

02先对速度求偏导

度规对称性

\frac{\partial L}{\partial {\dot{x}}^{ρ}} = g_{ρ β} {\dot{x}}^{β}

对称的两个速度因子各贡献一项，正好抵消前面的 1/2。

03沿路径求导，要记得 g 也在变

乘积与链式法则

\frac{d}{d τ} (g_{ρ β} {\dot{x}}^{β}) = g_{ρ β} {\ddot{x}}^{β} + (\partial_{α} g_{ρ β}) {\dot{x}}^{α} {\dot{x}}^{β}

第一项来自速度变化；第二项来自物体经过不同位置时，度规本身发生变化。

04再对位置求偏导

偏导数

\frac{\partial L}{\partial x^{ρ}} = \frac{1}{2} (\partial_{ρ} g_{α β}) {\dot{x}}^{α} {\dot{x}}^{β}

这一步把度规关于位置的变化率直接提出来。

05代入欧拉—拉格朗日方程

整理同类项

g_{ρ β} {\ddot{x}}^{β} + \frac{1}{2} (\partial_{α} g_{ρ β} + \partial_{β} g_{ρ α} - \partial_{ρ} g_{α β}) {\dot{x}}^{α} {\dot{x}}^{β} = 0

利用速度乘积关于 α、β 对称，把前一项对称化。左边第一项就是加速度。

06乘逆度规，命名那一大组系数

逆度规消去矩阵

{\ddot{x}}^{μ} + Γ_{α β}^{μ} {\dot{x}}^{α} {\dot{x}}^{β} = 0

乘以 gμρ 后，gμρgρβ=δμβ；剩余括号正是下一章要拆解的联络。

完整模式 · 定义、条件与补充计算

本演示的精确玩具度规

d s^{2} = - N (x)^{2} d t^{2} + d x^{2}, N (x) = 1 + k x^{2}

这是 1+1 维教学模型，取 c=1，不宣称它是某个真实恒星的四维外部解。

真正用于积分的方程

\ddot{t} = - 2 \frac{N^{'}}{N} \dot{t} \dot{x}, \ddot{x} = - N N^{'} {\dot{t}}^{2}

初始条件为 x=1.5、ẋ=0、ṫ=1/N。使用四阶龙格—库塔法按固有时间积分。

数值计算也要检查

- N^{2} {\dot{t}}^{2} + {\dot{x}}^{2} = - 1, E = N^{2} \dot{t} = const

下方读数检查四速度归一化误差。能量 E 也应沿这条静态度规中的测地线保持常数。

本章依据 [1][2]

坐标里有加速度，不一定有曲率。

度规的变化给出联络。但联络也记录坐标系自身的变化，所以还不能把 Γ 直接等同于不可消去的引力。

Γ 不为零，时空也可能完全平直吗？

在两个模型之间切换。线性的钟速因子 N(x) 产生非零联络，却没有曲率；二次的 N(x) 才让此模型的曲率不为零。

图中比较两个解析度规。N 是静止坐标钟的钟速因子，不是一个外加牛顿力场。

这一章，带走一句话Γ 是运动方程里的关键中间量；真正不能靠换坐标消去的是时空曲率。

把直觉写成公式05 / 10

联络：测量规则怎样随位置变化

Γ_{α β}^{μ} = \frac{1}{2} g^{μ ν} (\partial_{α} g_{β ν} + \partial_{β} g_{α ν} - \partial_{ν} g_{α β})

这个公式采用与度规相容、无挠率的列维–奇维塔联络。它的系数依赖坐标选择。

推导路径 1 / 4

01逆度规不是逐项取倒数

逆矩阵

g^{μ ρ} g_{ρ ν} = δ^{μ}_{ν}

它是整个度规矩阵的逆矩阵。仅在对角度规中，对角元才可分别取倒数。

02在静态玩具度规中计算

度规导数

g_{t t} = - N^{2}, g_{x x} = 1, \partial_{x} g_{t t} = - 2 N N^{'}

这里 c=1，t 本身就是时间坐标；N′ 表示关于 x 求导。

03得到两个非零联络

代入定义

Γ_{t t}^{x} = N N^{'}, Γ_{t x}^{t} = Γ_{x t}^{t} = \frac{N^{'}}{N}

它们正是上一章积分方程里出现的系数。

04比较平直模型与弯曲模型

本模型的曲率结果

R^{x}_{t x t} = N N^{″}

在这个特定的 1+1 维模型中，曲率由 N 的二阶导数决定。N=1+kx 时它为零；N=1+kx² 时一般不为零。

完整模式 · 定义、条件与补充计算

平直模型确实能变回闵可夫斯基度规

T = (x + 1 / k) \sinh (k t), X = (x + 1 / k) \cosh (k t)

当 k>0 且 N=1+kx 时，代入得到 −dT²+dX²=−N²dt²+dx²。这是平直时空中的加速坐标。k=0 则直接回到惯性坐标。

曲线坐标中的另一个例子

d ℓ^{2} = d r^{2} + r^{2} d θ^{2}, Γ_{θ θ}^{r} = - r, R^{i}_{j k l} = 0

普通平面换成极坐标，也会出现非零联络。这不是平面突然产生了曲率。

本章依据 [1][4]

一颗小球能失重，一群小球会记住曲率。

跟随中央小球一起自由下落。去掉整体的加速度以后，周围小球之间仍然可能拉开或挤近。

换到自由落体系后，什么还会留下？

潮汐视图保留粒子之间的相对运动；平行移动视图则让一个箭头绕球面走一圈。两种实验都在读出曲率。

潮汐动画使用冻结在中心事件的弱场潮汐张量，是局部近似；球面平行移动则按大圆弧精确旋转计算。

这一章，带走一句话单个粒子的坐标加速度可以变没；一小群粒子间的潮汐相对加速度，不能被同样消掉。

把直觉写成公式06 / 10

测地线偏离：曲率变成相对加速度

\frac{D^{2} ξ^{μ}}{d τ^{2}} = - R^{μ}_{ν α β} u^{ν} ξ^{α} u^{β}

ξ 是相邻自由粒子的分离向量，u 是中央粒子的四速度。右边说明：相对加速度由曲率决定。

推导路径 1 / 4

01先学会比较不同位置的方向

协变导数

\nabla_{μ} V^{ρ} = \partial_{μ} V^{ρ} + Γ_{μ σ}^{ρ} V^{σ}

普通导数只比较数字；协变导数还补偿不同位置坐标基底的变化。

02沿不同顺序移动，比较差异

曲率的定义

[\nabla_{μ}, \nabla_{ν}] V^{ρ} = R^{ρ}_{σ μ ν} V^{σ}

在坐标基底、无挠率联络下，绕一个无穷小闭环的差异由这个张量刻画。

03展开导数，曲率由联络构成

展开计算

R^{ρ}_{σ μ ν} = \partial_{μ} Γ_{ν σ}^{ρ} - \partial_{ν} Γ_{μ σ}^{ρ} + Γ_{μ λ}^{ρ} Γ_{ν σ}^{λ} - Γ_{ν λ}^{ρ} Γ_{μ σ}^{λ}

既有联络的导数，也有联络相乘的项。这些项一起保证结果按张量规律变换。

04比较两条邻近测地线

测地线偏离

\frac{D^{2} ξ^{μ}}{d τ^{2}} = - R^{μ}_{ν α β} u^{ν} ξ^{α} u^{β}

这才是“时空曲率成为引力的可观测效应”的直接方程。

完整模式 · 定义、条件与补充计算

弱场中的潮汐张量

δ {\ddot{x}}^{i} = - \partial_{i} \partial_{j} Φ ξ^{j}

对于球对称场，径向本征值为 +2GM/r³，两个横向本征值为 −GM/r³。径向拉伸，横向挤压。

球面小课堂

Δ ψ = \frac{A}{a^{2}} = α

这里 a 是教学球面的半径。所选三角形有两个直角，极点夹角为 α，面积 A=αa²；回转角按取向取符号。

局部不是全局

g_{μ ν} (p) = η_{μ ν}, Γ_{α β}^{μ} (p) = 0

可以在一点选择局部惯性坐标。若该处曲率不为零，不可能把整个邻域的曲率都变没。

本章依据 [4][1]

还缺一个问题：度规从哪里来？

前面给定几何，计算运动。现在反过来：用物质的能量、动量与压力，约束哪些几何是可能的。

为什么场方程左边不是随便一个曲率？

点击物质张量中的分量，查看它代表什么。能量密度只是其中一部分；在流体自己的静止系里，压力出现在三个空间对角分量。

本章交互是局部正交静止系中的理想流体张量阅读器，不是任意物质分布的数值相对论求解器。

这一章，带走一句话几何决定怎样自由运动；物质通过场方程约束几何。求具体解，还需要初始或边界条件。

把直觉写成公式07 / 10

爱因斯坦场方程

G_{μ ν} = \frac{8 π G}{c^{4}} T_{μ ν}

左边由度规及其导数构成，右边表示物质的能量与动量。它是一个物理场方程，不是纯几何定义的必然结果。

推导路径 1 / 5

01把完整曲率缩并成两个指标

张量缩并

R_{μ ν} = R^{ρ}_{μ ρ ν}, R = g^{μ ν} R_{μ ν}

里奇张量和曲率标量是曲率的缩并，并不包含完整黎曼曲率的所有信息。

02物质端有局域守恒条件

物理约束

\nabla^{μ} T_{μ ν} = 0

因此场方程的几何端也需要与这个条件相容。不能只因为 Rμν 的指标数对，就直接把它与 Tμν 成正比。

03几何给出一个正确的组合

几何恒等式

\nabla^{μ} (R_{μ ν} - \frac{1}{2} R g_{μ ν}) = 0

这是缩并比安基恒等式。减掉一半 Rgμν 后，得到恒等地无协变散度的爱因斯坦张量。

04提出最简单的标准场方程

物理理论的选择

G_{μ ν} \equiv R_{μ ν} - \frac{1}{2} R g_{μ ν} = κ T_{μ ν}

这里采用四维、无挠率的广义相对论，暂忽略宇宙学常数。守恒与几何动机帮助选方程，但不等于纯数学唯一推出全部物理。

05用牛顿极限确定系数

实验极限定标

κ = \frac{8 π G}{c^{4}}

第 09 章把这个系数完整算出：不是靠背诵 8π，而是要求弱场、低速时恢复熟悉的引力。

完整模式 · 定义、条件与补充计算

一个更完整的推导入口：作用量

S = \frac{1}{16 π G} \int R \sqrt{- g} d^{4} x + S_{m}

仅本作用量补充取 c=1、Λ=0，并使用紧支撑度规变分以去掉边界贡献。第一项是爱因斯坦–希尔伯特作用量。

分别改变几何端和物质端

\begin{aligned} δ S_{g} & = \frac{1}{16 π G} \int G_{μ ν} δ g^{μ ν} \sqrt{- g} d^{4} x \\ δ S_{m} & = - \frac{1}{2} \int T_{μ ν} δ g^{μ ν} \sqrt{- g} d^{4} x \end{aligned}

这里变分的是逆度规 gμν（上标）。相加并要求任意内部变分的 δS=0，便得到 Gμν=8πGTμν（本补充 c=1）。

真空也不必平直

T_{μ ν} = 0 ⟹ R_{μ ν} = 0 ⟹̸ R^{ρ}_{σ μ ν} = 0

在 Λ=0 的四维真空中，里奇曲率为零，但完整曲率仍可非零；恒星外部、黑洞外部以及引力波都是重要例子。

宇宙学常数放在哪里

G_{μ ν} + Λ g_{μ ν} = κ T_{μ ν}

Λgμν 同样具有零协变散度。本页研究局部引力，后续演示设 Λ=0。

本章依据 [2][1]

牛顿的引力势，藏在时间的度规里。

只看静态弱场、缓慢运动的物体。那条长长的测地线方程，会缩成一行熟悉的公式。

为什么一个看起来只描述钟的系数，会给出下落加速度？

蓝线显示时间度规偏离平直值的形状，切线显示它的空间变化率。把这一变化率乘以 c²/2，正是弱场中的坐标加速度。

静态、弱场、低速的一阶近似。图中度规偏离已按 2ε 归一化放大；不会把放大幅度当作真实强场。

这一章，带走一句话不是“时间慢”这句话代替了计算，而是度规的梯度经过联络与测地线，成为 −∇Φ。

把直觉写成公式08 / 10

熟悉的加速度，从测地线回来

\frac{d^{2} x}{d t^{2}} = - \nabla Φ

Φ 是单位质量的牛顿引力势。弱场下，g₀₀≈−(1+2Φ/c²)；它的空间梯度进入 Γⁱ₀₀。

推导路径 1 / 4

01把牛顿势写成弱场度规

弱场展开

g_{00} ≃ - (1 + \frac{2 Φ}{c^{2}})

假设 |Φ|/c²≪1、场近似静态、g0i≈0，且空间度规在主导阶上近似 δij。

02保留低速时最大的速度项

低速极限

\frac{d^{2} x^{i}}{d t^{2}} ≃ - c^{2} Γ_{00}^{i}

因为 x⁰=ct 且 |v|≪c，时间方向的四速度贡献占主导，τ≈t。

03用度规求出联络

代入联络

Γ_{00}^{i} ≃ - \frac{1}{2} δ^{i j} \partial_{j} g_{00} = \frac{1}{c^{2}} \partial_{i} Φ

静态假设使时间导数项消失。代入 g00，再求一个空间导数。

04c² 正好抵消

化简

\frac{d^{2} x^{i}}{d t^{2}} ≃ - \partial_{i} Φ

对所有三个空间分量一起写，就是向量形式的 a=−∇Φ。

完整模式 · 定义、条件与补充计算

钟速关系怎样对应牛顿势

\frac{d τ}{d t} = \sqrt{- g_{00}} ≃ 1 + \frac{Φ}{c^{2}}

这条式子针对静态坐标中的静止钟。仅靠 g00 足以解释低速粒子加速度的主导项；完整光线偏折还需要空间度规。

本图的放大比例

Φ = - \frac{G M}{r}, ϵ = \frac{G M}{c^{2} R}, \frac{g_{00} + 1}{2 ϵ} = \frac{R}{r}

纵轴画的是归一化后的偏离量，避免把微小的度规差异画成不可见。滑块变化同时更新真实 g00 的数值。

本章依据 [2]

再走一步，物质密度也回来了。

我们已经知道物体怎样运动。现在检验：爱因斯坦场方程能否给出正确的引力势？

为什么会出现 4πGρ，以及爱因斯坦方程里的 8π？

把探针从均匀球体内部移到外部。球外密度和势的拉普拉斯都为零，势的梯度却不为零：真空仍可以有引力。

均匀球体的牛顿解析解。图中取 G=R=1，球面处按外侧值显示密度；不用于模拟相对论致密流体内部。

这一章，带走一句话同一个理论，同时还原了“物体怎样下落”和“质量怎样产生引力势”。

把直觉写成公式09 / 10

牛顿引力的泊松方程

\nabla^{2} Φ = 4 π G ρ

这不是另一条硬塞进来的规则。它是爱因斯坦场方程在静态、弱场、非相对论物质条件下的极限。

推导路径 1 / 6

01对场方程取迹，再改写

迹反转

R_{μ ν} = κ (T_{μ ν} - \frac{1}{2} g_{μ ν} T)

在四维、Λ=0 时，Gμν=κTμν 的迹给出 R=−κT，再代回原方程。

02非相对论物质由静质量能量主导

物质近似

T_{00} ≃ ρ c^{2}, T ≃ - ρ c^{2}, g_{00} ≃ - 1

ρ 是质量密度；压力和能流相对于静质量能量密度可忽略。

03看清关键的 1/2

代入并整理

R_{00} ≃ \frac{κ}{2} ρ c^{2}

T00−½g00T≈ρc²−½ρc²。正是这里的一半，决定了最终是 8π 而不是 4π。

04把 R00 写回度规

几何端展开

R_{00} ≃ \partial_{i} Γ_{00}^{i} ≃ \frac{\nabla^{2} Φ}{c^{2}}

静态弱场下忽略时间导数，以及二阶小量 ΓΓ；再利用上一章得到的 Γⁱ₀₀。

05与牛顿泊松方程匹配

物理定标

\frac{κ c^{4}}{2} ρ = 4 π G ρ ⟹ κ = \frac{8 π G}{c^{4}}

G 是由引力实验确定的牛顿常数。以正确的牛顿极限定标，场方程系数就确定了。

06球对称真空中的熟悉结果

解方程与边界条件

Φ (r) = - \frac{G M}{r}, a = - \frac{G M}{r^{2}} \hat{r}

需要球对称条件、总质量 M，以及无穷远处 Φ→0 的边界条件；并不是只给“此处真空”就能唯一确定解。

完整模式 · 定义、条件与补充计算

内部与外部的解析解

Φ (r) = {\begin{cases} - \frac{G M}{2 R} (3 - \frac{r^{2}}{R^{2}}), & r < R, \\ - \frac{G M}{r}, & r \geq R . \end{cases}

本图使用半径 R、总质量 M 的均匀球体。势及其一阶径向导数在球面连续，密度在那里跳变。

无源不等于没有场

\nabla^{2} Φ = 0 ⟹̸ \nabla Φ = 0

球外势的拉普拉斯为零，但梯度非零。这也帮助理解相对论中的“里奇平坦不等于完全平直”。

本章依据 [2]

同一套几何，给出轨道、钟与光。

最后选择一个具体解：球对称、无旋转天体外部的史瓦西时空。让前面的符号，成为真正可计算的路径。

当弱场近似不再足够，会出现什么新现象？

轨道视图比较同样近、远心距的两种理论；光线视图改变入射冲量参数，看光线偏折，或落入事件视界。

轨道和光线都是史瓦西外部测地线的数值解，采用 G=c=M=1。屏幕只画轨道平面投影，不是“橡皮膜”或整个四维时空的嵌入。

这一章，带走一句话物质与边界条件 → 度规；度规 → 联络 → 测地线。熟悉的引力现象，就这样从时空几何中出现。

把直觉写成公式10 / 10

史瓦西度规：一个完整的外部解

\begin{aligned} d s^{2} = & - (1 - \frac{r_{s}}{r}) c^{2} d t^{2} \\ + \frac{d r^{2}}{1 - r_{s} / r} + r^{2} d Ω^{2} \end{aligned}

rs=2GM/c²。这里的 r 是面积半径：半径 r 的对称球面面积为 4πr²；它不等于一般意义上的径向尺量距离。

推导路径 1 / 5

01选定物理条件，求外部几何

场方程的具体解

\begin{aligned} R_{μ ν} & = 0, r_{s} = \frac{2 G M}{c^{2}} \\ d Ω^{2} & = d θ^{2} + \sin^{2} θ d ϕ^{2} \end{aligned}

取 Λ=0、球对称真空外部、无穷远渐近平直。史瓦西解由总质量参数 M 确定。

02对称性带来守恒量

时间与转动对称性

E = (1 - \frac{2 M}{r}) \dot{t}, L = r^{2} \dot{ϕ}

从这一步开始取 G=c=1，并将运动限制在赤道面。点对有质量粒子的固有时间求导；E、L 是单位质量守恒量。

03把径向测地线改写成轨道方程

消去固有时间

\frac{d^{2} u}{d ϕ^{2}} + u = \frac{M}{L^{2}} + 3 M u^{2}, u = \frac{1}{r}

比牛顿多出的 3Mu² 使椭圆一般不再闭合。图中的蓝色轨道直接积分这条精确的外部测地线方程。

04弱场时，读出近心点进动

弱场展开

Δ ϖ ≃ \frac{6 π G M}{a (1 - e^{2}) c^{2}}

这是一阶弱场估计。界面同时显示数值轨道测出的进动角；进入较强场时，两者不必相同。

05光走零测地线

零测地线

\frac{d^{2} u}{d ϕ^{2}} + u = 3 M u^{2}, d s^{2} = 0

光的固有时间为零，改用仿射参数定义守恒量，再消去该参数。远处弱偏折极限为 4GM/(bc²)。

完整模式 · 定义、条件与补充计算

轨道的参数设置

r_{p} = \frac{p M}{1 + e}, r_{a} = \frac{p M}{1 - e}, \frac{L^{2}}{M^{2}} = \frac{p^{2}}{p - 3 - e^{2}}

p 是用 M 作单位的半通径。两条比较轨道有相同近、远心距，各按自己的理论设置角动量，并非相同局部初速度。稳定轨道域要求 p>6+2e。

精确的光线一阶积分

{(\frac{d u}{d ϕ})}^{2} = \frac{1}{b^{2}} - u^{2} + 2 M u^{3}

b=L/E 是远处冲量参数，模拟取 M=1。临界值 bc=3√3M；小于临界值的入射光可被黑洞俘获。

视界上的坐标问题

r = r_{s}

史瓦西坐标在视界处失效，不表示那里曲率发散。光线演示在接近视界时停止，不尝试用这个坐标穿越视界。

没有物质并不表示没有曲率

R_{μ ν} = 0, R_{μ ν ρ σ} R^{μ ν ρ σ} = \frac{48 G^{2} M^{2}}{c^{4} r^{6}}

外部真空的里奇张量为零，完整时空曲率仍然存在，且在 r=rs 处有限。

本章依据 [3][2]

不是“空间把物体往下拉”。

时空的测量规则，决定自由运动的自然路径；物质与边界条件，再通过场方程约束这些规则。

运动线 · 给定度规，计算自由运动

T_μν物质 + 初始 / 边界条件 g_μν场方程约束度规 Γ^μ_αβ度规导数给出联络 D u = 0测地线给出自由运动 x^μ(τ)自由落体与轨道

曲率线 · 从度规构造场方程的几何端

g_μν度规 Γ求导，得到联络 R^ρ_σμν联络构造完整曲率 R_μν, R缩并曲率 G_μν场方程联系到物质

模型、近似与数值方法

页面上的曲线由对应公式计算，而非用装饰性弯曲网格替代推导。度规测量、匀速钟、均匀球体势使用解析关系；试探路径的固有时间使用辛普森积分；1+1 维类时测地线、史瓦西轨道和光线使用四阶龙格—库塔积分。

各章的几何或物理条件独立标明：开场为牛顿近地面近似；钟速模型为 1+1 维教学度规；潮汐动画为冻结局部潮汐张量的近似；最后一章为史瓦西真空外部数值测地线。物质张量阅读器并不求解任意物质分布的爱因斯坦方程。

全页采用 (−,+,+,+) 符号约定，除特别标注外 x⁰=ct。场方程不能只靠纯几何定义推出；标准广义相对论还包含物理假设，具体解还需要物质条件以及初始或边界条件。

继续阅读 · 来源与推导依据

[1]
Sean Carroll｜广义相对论讲义，第 3 章：曲率 ↗度规相容联络、测地线、黎曼曲率、比安基恒等式与测地线偏离。
[2]
Sean Carroll｜第 4 章：引力 ↗等效原理、弱场与牛顿极限、爱因斯坦场方程、希尔伯特作用量。
[3]
Sean Carroll｜第 7 章：史瓦西解与黑洞 ↗史瓦西度规、类时及零测地线、近心点进动与事件视界。
[4]
Einstein Online｜从失重到曲率 ↗马克斯·普朗克研究机构的入门解释：局部失重、潮汐与几何曲率。